Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Transkriptio

1 MAA11 Koe Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan 1h aikaa suorittaa A- Osio. Laske seuraavista kolmesta tehtävästä VAIN KAKSI! A1. Mitkä seuraavista ovat tautologioita? a. A B B b. A A B c. (A B) (A B) 6p A. a. Määritä SYT(51,10) b. Ratkaise yhtälö 51x + 10y = 4, jos ratkaisu on olemassa. 6p A3. a. Mitä jää jakojäännökseksi, jos luku jaetaan luvulla 5? b. Ovatko lauseet (A B) ( A B) ja (A B) (A B) loogisesti ekvivalentit? Perustele totuustaululla. 6p

2 B-Osio. Saa käyttää laskinta. Valitse neljä tehtävää tehtävistä B4-B9. B4. B5. B6. a. Määritä lukujen 1530 ja 145 alkulukuhajotelmat. Määritä lisäksi alkulukuhajotelmien avulla lukujen 1530 ja 145 suurin yhteinen tekijä. (Eukliden alkoritmi ei kelpaa tässä!) b. Mitkä seuraavista luvuista ovat alkulukuja: 13, 341 ja 979? 6p a. Todista, että neljän peräkkäisen parittoman kokonaisluvun summa on parillinen. b. Todista, että parittoman kokonaisluvun neliö on aina pariton. 6p a. Onko luku n n 6, missä n on kokonaisluku, aina jaollinen luvulla 3? (p) b. Osoita, että jokaisella kokonaisluvulla n luku n ( n ) on jaollinen luvulla 3 (4p) 6p B7. Olkoon n sellainen positiivinen kokonaisluku, että n+1 on kokonaisluvun neliö. Osoita, että n+1 on kahden peräkkäisen kokonaisluvun neliöiden summa. 6p B8. Formalisoi seuraava sääennustus: Jos ulkona on kylmä, niin sataa on pakkasta toisaalta, jos on pakkasta ja ulkona on kylmä, niin ei sada. Millaisella säällä ennustus pitää paikkansa? 6p B9. Nukketeatterin lastenlippu maksoi,50 euroa ja aikuisten lippu 5,50 euroa. Illan päätteeksi järjestäjät laskivat kassan ja sinne oli kertynyt rahaa 151 euroa. Kuinka monta ihmistä on enintään ollut nukketeatteriesitystä katsomassa? Jokeri 9p

3 RATKAISUT: 1. Mitkä seuraavista ovat tautologioita? a. A B B b. A A B c. (A B) (A B) A B A B A B B !! rivin takia ei ole tautologia! A B A B A A B On tautologia! A B A B A B (A B) (A B) On tautologia! Siis B ja C olivat tautologioita.. a. Määritä SYT(51,10) SYT(51,10)=1 51 = = = = 10 1 b. Ratkaise yhtälö 51x + 10y = 4, jos ratkaisu on olemassa. Ratkaisu on olemassa, koska jako Nyt: 4 SYT(51,10) = 4 1 menee tasan. 1 = = 11 ( ) 1 = = (51 10) 1 = X = 11 ja Y = -3

4 3. a. Mitä jää jakojäännökseksi, jos luku jaetaan luvulla 5? 19 1(mod 5) 19 3 ( 1) 3 (mod 5) 1(mod 5) 88 3(mod 5) (mod 5) 9(mod 5) 1(mod 5) Jakojäännökseksi jää siis 1. b. Merkitään lyhennettynä (A B) = C, ( A B) = D ja (A B) = E A B A B A B A B A B C D E C Koska lauseiden (A B) ( A B) ja (A B) (A B) totuusarvot ovat aina samat, ne ovat loogisesti ekvivalentit. a Nyt SYT(1530,145)=3 5 = 15 b. Mitkä seuraavista luvuista ovat alkulukuja: 13, 341 ja 979? 13 11,09 => Riittää kun kokeillaan onko 13 jaollinen kaikilla tätä pienemmillä alkuluvuilla. Jos ei ole, niin sitten 13 on alkuluku. 13/11, 13/7 ja 13/5 eivät mene tasan, mutta 13/3=41 => Ei ole alkuluku ,5. Yritetään jakaa 18 pienemmillä alkuluvuilla: 341/17, 341/13 eivät mene tasan, mutta 341/11=31, joten 341 ei ole alkuluku ,. Yritetään jakaa tätä pienemmillä alkuluvuilla: 979/31, 979/9, 979/3, 979/19, 979/17, 979/13 eivät mene tasan, mutta 979/11=89, joten 979 ei ole alkuluku. Yksikään luvuista ei ollut alkuluku. 5. a. Todista, että neljän peräkkäisen parittoman kokonaisluvun summa on parillinen. Oletus: luvut a, b, c ja d Z ja a = p 3, b = p 1, c = p + 1 ja d = p + 3 Väite: a + b + c + d = q, missä p ja q Z Todistus: Nyt a + b + c + d = p 3 + p 1 + p p + 3 = 8p = 4p Merkitään 4p = q jokin kokonaisluku, jolloin:

5 a + b + c + d = q selvästi parillinen luku Väite todistettu. b. Todista, että parittoman kokonaisluvun neliö on aina pariton. Oletus: a Z ja a = p + 1 Väite: a = q + 1, missä p ja q Z Todistus: Nyt a = (p + 1) = 4p + 4p + 1 = (p + p) + 1 Merkitään p + p = q jokin kokonaisluku, jolloin: a = (p + 1) = q + 1 pariton kok. luku Väite todistettu. 6. a. Onko luku, n n 6 missä n on kokonaisluku, aina jaollinen luvulla 3? Ei ole. Jos esim. n=, niin n n 6 = 6 = 4 ja -4 ei ole jaollinen luvulla 3. Taulukoimalla eri vaihtoehdot n=3p, n=3p+1 ja n=3p+ päätyy samaan ratkaisuun. Muistaakseni 3p+ aiheutti ristiriidan. b. Oletus: n on kokonaisluku Väite: n( n ) on jaollinen luvulla 3. Todistus: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodoilla 3q, 3q+1 3q+ missä q on jokin kokonaisluku. Nyt: Eli oli n minkä muotoinen kokonaisluku hyvänsä, n ( n ) on aina jaollinen luvulla 3.

6 7. Olkoon n sellainen positiivinen kokonaisluku, että n+1 on kokonaisluvun neliö. Osoita, että n+1 on kahden peräkkäisen kokonaisluvun neliöiden summa. Oletus: n Z n + 1 = p, missä p Z Väite: n + 1 = q + (q + 1), missä q Z Todistus: Vastaoletuksella: n + 1 q + (q + 1) n + 1 q + q + q + 1 n + 1 q + q + 1 n + 4q + 4q + 1 n + 1 4q + 4q + 1 (binomin neliön palautuskaava!) n + 1 (q + 1), merkitään q + 1 = p jokin kokonaisluku => n + 1 p Ristiriita oletuksen n + 1 = p kanssa. => Vastaoletus väärä ja alkuperäinen väite tosi! Lähdin ensin normaalista todistuksesta liikenteeseen, ja yritin muokata oletuksesta n = ja sijoittaa sen väitteeseen n:n paikalle. Se johti jatkuvasti umpikujiin, sitten EVO. Sen jälkeen hermostuin ja kokeilin vastaoletuksella todistamista, ja se johtikin sitten ylläolevaan lopputulokseen. Eli muokkasin väitteen vasemmasta puolesta oletusta n+1, ja samalla oikea puoli muuttui mukana kokonaisluvun neliöksi. 8. Merkitään A: ulkona on kylmä. B: sataa ja C: on pakkasta. Tällöin saadaan lause: A ( B C) ( C A) B. (p.) Tehdään totuustaulu, jotta nähdään, milloin lause on tosi. A B C B C A ( B C) C A B ( C A) B A ( B C) ( C A) B (4p.)

7 Lause A ( B C) ( C A) B säillä. (6p.) on tautologia, joten ennustus pitää paikkansa kaikilla 9. Ratkaisu: Saadaan yhtälö,50x + 5,50y = 151, missä x on lasten lukumäärä ja y on aikuisten lukumäärä. Ratkaistaan ensin Diofantoksen yhtälö 50x + 550y = (1p.) Siis syt(50,550) = Yhtälön 50x + 550y = 50 eräs ratkaisu on x0, y0 1 (p.) Yhtälön 50x + 550y = eräs ratkaisu on x , y (3p.) Kaikki ratkaisut yhtälölle 50x + 550y = ovat Nyt täytyy olla x 0 ja y 0, joten 550n x n 50, n 50n y n 50 (4p.) 10 11n n 604 n 54 ja 30 5n 0 5n 30 n 60 (5p.) 11 5 Siis n = 55 n = 56 n = 57 n = 58 n = 59 n = 60. (6p.) Yhtälön 50x + 550y = mahdolliset ratkaisut ovat siis ja x y y ja x y 1 34 y ja x y y ja x y y ja x y y ja x y y (8p.) Teatterissa oli enintään 58 ihmistä. (9p.)