A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

Transkriptio

1 MAA3 Geometria Koe Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin etureunaan A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a. Ympyrän tangentti. b. Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut. c. Kuvan kolmio ABC on tasakylkinen. Todista, että kolmiot ABD ja ACF ovat yhdenmuotoiset, kun AD, BE ja CF ovat kolmion ABC korkeusjanoja. 2. a. Laske oheisen kolmion pinta-alan tarkka arvo: b. Asunnon pohjapiirroksessa keittiön koko on 5cm 2. Mikä on keittiön oikea pinta-ala, jos pohjapiirroksen mittakaava on 1:200? c. Määritä kulmien α ja β suuruus.

2 B-osio. Saa käyttää laskinta ja taulukkokirjaa. Valitse tehtävistä 3-7 neljä kappaletta. 3. Määritä oheisesta kuviosta kolmion ABC kulmat ja sivujen pituudet. Tiedetään, että suorat L1 ja L2 ovat keskenään yhdensuuntaiset ja L3 ja L4 ovat keskenään yhdensuuntaiset. Lisäksi tiedetään janat PQ = 4 cm, BQ = 3 cm ja QC = 5 cm. 4. Kuinka korkealle Lontoon yläpuolelle pitäisi kiivetä, jotta näkisi Helsinkiin? Lontoon ja Helsingin etäisyys on 1900 km. Maapallon ympärysmitta on km ja säde on 6370km 5. Kuvan ympyröiden säteiden mitta on a ja niiden keskipisteet ovat neliön lävistäjällä. Ympyrät sivuavat toisiaan ja neliön sivuja. a. Laske neliön ala vakion a avulla. b. Kuinka paljon ympyröiden yhteenlaskettu ala on prosentteina neliön alasta? 6. a. Kolmiossa on 30 ja 100 kulmat. Kolmion suurinta kulmaa vastaava sivu on 10 cm. Laske kolmion pinta-ala. b. Suorakulmaisen särmiön sisään laitetaan ympyräpohjainen lieriö siten, että lieriö juuri mahtuu paikalleen. Kuinka monta prosenttia särmiön tilavuus on suurempi kuin lieriön tilavuus, jos oletetaan, että molemmat korkeus h on sama?

3 7. Ympyrän sisään on piirretty mahdollisimman iso neliö ja jokaiseen neliön ulkopuolelle jäävään ympyrän segmenttiin on piirretty mahdollisimman suuri ympyrä. a) Mikä on segmenttiin piirretyn ympyrän säde, jos koko ympyrän säde on r? b) Mikä on näiden neljän segmentteihin piirrettyjen ympyröiden yhteenlasketun pinta-alan suhde koko ympyrän pinta-alaan? Anna vastaukseksi suhteen tarkka arvo, sekä likiarvo prosentin kymmenesosan tarkkuudella. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Bonus: +2p Laske paistinpannun tilavuus, jos se on malliltaan pyöreä ja pohja on 20 cm halkaisijaltaan ja yläreuna on 28 cm halkaisijaltaan. Paistinpannu on 6 cm korkea. Kahvaa ei tarvitse laskea tilavuuteen mukaan OTA TÄMÄ KYSYMYSPAPERI MUKAAN POISTUESSASI JA VAIKKA MERKKAA SIIHEN OMAT VASTAUKSESI. OIKEAT VASTAUKSET NÄKEE n. KLO 12:00 OSOITTEESTA:

4 RATKAISUT: 1. a. Tangentti sivuaa ympyrää yhdessä ympyrän kehän pisteessä. On aina kohtisuorassa sädettä vasten! b. c. Kolmioissa ABD ja ACF on molemmissa suora kulma. Koska AC BC, niin kolmio ABC on tasakylkinen, joten sen kantakulmat (kulmat BAC ja ABC) ovat yhtäsuuret, joten kolmiot ABD ja ACF ovat yhdenmuotoiset kk- lauseen mukaan. 2. a. b. Asunnon pohjapiirroksessa keittiön koko on 5cm 2. Mikä on keittiön oikea pinta-ala, jos pohjapiirroksen mittakaava on 1:200? Nyt voidaan käyttää mittakaavan ja pinta-alojen suhteen kaavaa: 5cm 2 A cm 2 = ( 1cm 2 200cm ) yksiköt supistuvat pois, vastaus on cm 2 5 A = A = cm2 = 20 m 2 c. Määritä kulmien α ja β suuruus.

5 Parit mallikuvat: Nyt sitten tummemmalla piirretyn nelikulmion sisään muodostuu kolmioita ja keskelle ristikulmat: Eli alfa = 35 astetta ja beta = 105 astetta. 3. Merkitään suorien L3 ja L2 leikkauspistettä vaikka R:llä. Jana AR=4, koska APQR on suunnikas. Merkitään Janan RB pituutta x:llä. Sivu CB on yhteensä 8.

6

7 Nyt 1900 km = 12740π π Tarkastellaan syntyvää kolmiota: Nyt 6370 x = 17,1 = cos17,1 x = 6370 cos17,1 = 6664,623km Kun tästä vähennetään maapallon säde 6370 km pois, niin saadaan korkeus h: h=6664,623km-6370km=294,6km. Pitäisi kiivetä noin 295 km korkeuteen 5. a. Mallikuva: Neliön sivun mitta on siis x +2a. Ratkaistaan x pythagoran lauseella: x 2 + x 2 = (4a) 2 2x 2 = 16a 2 x 2 = 8a 2 x = 8a Nyt neliön sivun pituus on siis 8a + 2a Tällöin pinta-ala A neliö = ( 8a + 2a) 2 = 12a a 2

8 b. A ympyrät = 3πa 2, joten pinta-alojen suhde: A ympyrät 3πa 2 = A neliö 12a a = 3πa 2 a 2 supistuu pois 2 ( )a 2 3π 0,404 => noin 40% ( ) 6. a. Mallikuva: Nyt x = 10 sin50 sin100 x = 10sin50 sin100 = 7,78cm Nyt A = 1 7,78 10sin30 = 19,5cm2 2 b. Olkoon lieriön pohjan säde r ja korkeus h. Särmiön korkeus on myös h ja pohjaneliön sivun pituus on 2r. Tilavuuksien suhde on V s = (2r)2 h = 4 1,273. Särmiön tilavuus on noin 27 % suurempi kuin lieriön tilavuus. V l πr 2 h π 7.

9